谈谈教育

谈一谈关于教育的想法，包括对家庭、学校的看法。

学校与家庭

教育的对象是学生也是儿童/未成年人，也就是说教育来自学校和家庭，二者的角色、任务分配是个大问题。

最近在读的书《婚姻与道德》体现罗素的看法，他认为婚姻的任务就是父母养育后代，且父亲的角色逐渐被国家替代，当然随着经济发展和女权运动，母亲也不再局限于过去传统的家庭主妇角色。 这意味着原本家庭内的很多任务都被转移到了外部。

今年过年回家，和其他同学一起看望了小学班主任，聊到一些班主任职责的问题。在我小学时（近二十年前），小孩子打闹到头破血流的情况¹，家长也不会找班主任的麻烦，毕竟是小孩子自己调皮。
但如今，小学生出了一点点事，家长往往要找老师、班主任和学校的麻烦。过去在一些对美国教育的批判中看到过类似的情形，还有电影（比如超脱），现在中国也出现这种现象了。

罗素提出一个很有趣的观察：在校学习这件事，是把儿童从家长身边带走，强制和其他儿童在公共机构下共同生活数小时。这实际上是很不自然的。

教资

考虑到在学术界混不下去的可能（目前看来很大），再借鉴已经quit了的师弟的经验，打算搞个教资多个出路。

考试记录

一月就报名了，但拖到只剩一个月的时候才开始准备，打印出来资料开始背，可能用了一周的时间。
笔试总共三门，科目一综合素质，题型相对较少，前面选择题很恶心，还包括一个作文；科目二很多简答题或类似题型，要背好多东西，这个准备得最差；科目三是一些数学题，和教案设计，这个最简单。
科目一的题基本上算背下来了，都是套路。作文自认为写得还不错，而且结尾收束到了教育层面。科二很多题没背，乱写一通，居然过了。科三数学题波澜不惊，但是很久没有这样写证明了，多少有点杂乱。

意外地发现笔试过了，面试准备地更潦草，周六面试，周三才开始看资料，让考过教资的师弟帮忙试讲了一两次。

资格考试

滑稽的是，背了一大堆教育理念，根本不进脑子。学习着不要填鸭式教育，结果对自己使劲填鸭，太抽象了。
这种资格考试真的有用吗？

数学

然后回到数学学科的话题。

什么是向量

先议论一下面试的题目，抽到的是向量的数量积（2），仅仅定义了投影向量。我的思路是引导思考出一个自然的变换，即当考虑a向量在b向量的投影时，目标是从a得到一个和b平行的向量，这就需要分解 a = a’+c使得 a’与b平行而c与b垂直。从高中水平的几何上来说，a作为有向线段AB，从端点A、B做到b的有向线段CD上的垂线。

但是这里有一些问题。
引入投影向量的目的是做向量的数量积，并且要用到向量的长度，以及分解里有垂直的概念。我们也会频繁用到垂直推出数量积微0。但实际上平面上线段的长度和垂直的概念是从内积得到的，也就是说，平面用$\mathbb{R}^2$定义，并且用最简单的内积得到希尔伯特空间，诱导度量，同时也是2-范数。甚至角度也是由$a\cdot b = |a|\cdot |b|\cos \theta$定义。但是中学讲授的方式是反过来的，通过这些几何直观反过来定义向量和内积。一个经错误是用数量积和余弦函数性质来得到柯西不等式 $$ |\cos \theta|\leq 1 \implies (a\cdot b)^2\leq |a|^2\cdot |b|^{2 \implies (\sum a_ib_i)2 \leq (\sum_i a_i2)(\sum b_i}2)$$ 实际上严格的方式是用代数不等式证明这么定义夹角是well-defined。
如果再多思考一点，大学前我们根本没有定义什么是平面，数轴和实数的定义、关系也含混不清。如果不是数学专业，可能从来不会了解实数的8个等价定义。实际上，所谓的直线是通过代数和分析构造出的$\mathbb R$来定义的。

回到小标题，什么是向量？中学阶段用有向线段的定义是非常糟糕的，它对平移向量的操作很不兼容。至少应该定义成有向线段的等价类，但等价类又超纲了。而“有大小和方向的量”的解释也会影响后续线性代数的学习，很多时候用物理中的力作为向量的例子，但力的三要素除了大小方向外还有作用点。而且角速度又常常不考虑其向量性质，不学习外积又导致力矩、角速度、洛伦兹力等没有统一的数学语言，很难受。
所以如何恰当的定义向量是什么？是线性空间的元素，仅此而已。

为什么这么烂

数学是什么

数学教育应该怎么做

布尔巴基

我真觉得有可行性